余弦定理证明 平面向量证法：
∵如图，有a+b=c (平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(A+B)
（以上粗体字符表示向量）
又∵Cos(A+B)=-CosC
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|CosC（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
平面几何证法：
在任意△ABC中
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
余弦定理的作用 (1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；
(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.
例如：已知△ABC的三边之比为：2：1，求最大的内角.
解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=:2:1.
由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角.由余弦定理
cos A==-
所以∠A=120°.
再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之长.
解 由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A
=4+9-2×2×3×=7，
所以BC=7.
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用. 其他 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
三相电压、电流计算，都是矢量计算，知道两边和一个角，求第三边，或者知道三边求三角，都可以使用本公式。
