[/URL]1 [/URL]傅立叶变换
只要是理工科毕业的朋友，都学过傅立叶级数与傅立叶变换，但真正要与实际应用联系起来，用它来阐述应用中的各类问题，我们总会感觉概念模糊，似懂非懂，不知从何说起。是的，作者和你一样，常常有这样的体会。现在，让我与你一起重新学习傅立叶的基本理论和应用，最后还给出一份FFT（快速傅立叶变换）的源码（基于C）。希望对你有所帮助。Let’s go！
1． 历史回顾
谈傅立叶变换，不能不说三角函数。三角函数起源于18世纪，主要是与简谐振动的研究有关。当时的科学家傅立叶对三角函数作了深入研究，并用三角级数解决了很多热传导的问题。三角函数的展开式如下：
f(t) = (1/2a0) + (a1·cos(x)+b1·sin(x)) + (a2·cos(2x)+b2·sin(2x)) + …
其中，系数a和b表示不同频率阶数下的幅度。
成立条件：
n 周期性条件，也就是说f(x)描述的波形必须每隔一段时间周期T就会重复出现；
n Dirichlet条件，周期T内，有限的最大最小值，有限的不连续点；
任何区间内绝对可积；
研究目的：
把一个基于时间变量t的函数展开成傅立叶级数的目的是分解为不同的频率分量,以便进行各种滤波算法。这些基本的组成部分是正弦函数SIN（nt）和余弦函数COS(nt)。
应用领域：
l 信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等；
l 研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时，把f(t)展开为三角级数最为关键。
l 概率与统计，量子力学等学科。
2． 傅立叶变换
H(w) = ∫h(t)·e^jwt·dt, （区间：-∽～+∽，w = 2πf）
讨论：这里为什么会选择复指数的形式而没有用正弦余弦表示？
答案：欧拉公式的引入使得这条经典的数学公式变得更简单，即e^jx = cos(x) + jsin(x)
3． 快速傅立叶变换（FFT）
常规的傅立叶变换算法并不适用于嵌入式控制系统，原因是运算量太大（涉及到复数运算），比如离散的傅立叶变换等同于用序列Y(n×1列矢量)乘以n×n 矩阵Fn，需要n×n次乘法。若n=1024,则是104，8576次乘法运算。哇，这么多呀！什么概念呢？如果你选用的CPU单周期指令为25ns, 单周期也可以完成一次乘法运算，那么要计算1024点的傅立叶变换则需要26.2144ms,这还不包括加法或其它运算，对于大多数实时系统，这个处理时间实在太长。于是寻找一个快速的傅立叶变换算法是人们所期望的。
本来我想把FFT的整个数学推导过程列完出来，但当自己硬着头皮看完后，发现对我没有任何用处，我又不是专门研究数学算法的，哪有那么多时间跟着书本的公式去慢慢推导。我想，这些推导问题还是让数学家想去吧。我需要的不过是理解它，然后学会应用它就行。有兴趣的读者可以参考相关的资料，这方面的资料实在太多了。
虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。主要原因是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算，想想这是多么繁琐的事情。可能会有些初学者认为，有这么复杂吗？我在PC上使用C++一样可以对复数直接进行加、减、乘、除运算。你说得不错，可以这么做，但那是C++封装了对复数处理的类，直接调用就行。在PC上运算这种类型的算法一般不考虑时间和空间，多一两秒的运行时间不会有什么灾难性的结果。
所以我们要衡量一个处理器有没有足够的能力来运行FFT算法，根据以上的简单介绍可以得出以下两点：
l 处理器要在一个指令周期能完成乘和累加的工作，因为复数运算要多次查表相乘才能实现。其二就是间接寻址，可以实现增/减1个变址量，方便各种查表方法。
l FFT要对原始序列进行反序排列，处理器要有反序间接寻址的能力。
所以，在数字信号的分析处理应用中，DSP比其它的处理器有绝对的优势，因为DSP完全具备以上条件。这就是单片机（51系列，AVR，PIC等等）或ARM处理器很少用来进行数字信号分析的原因。
void fft(int n, double theta, double ar[], double ai[])
{
int m, mh, i, j, k;
double wr, wi, xr, xi;
for (m = n; (mh = m >> 1) >= 1; m = mh)
{
for (i = 0; i < mh; i++)
{
//TRACE("i=%d\n", i);
wr = cos(theta * i);
wi = sin(theta * i);
for (j = i; j < n; j += m)
{
k = j + mh;
xr = ar[j] - ar[k];
xi = ai[j] - ai[k];
ar[j] += ar[k];
ai[j] += ai[k];
ar[k] = wr * xr - wi * xi;
ai[k] = wr * xi + wi * xr;
}
}
theta *= 2;
}
/* ---- unscrambler ---- */
i = 0;
for (j = 1; j < n - 1; j++)
{
for (k = n >> 1; k > (i ^= k); k >>= 1);
if (j < i) {
xr = ar[j];
xi = ai[j];
ar[j] = ar[i];
ai[j] = ai[i];
ar[i] = xr;
ai[i] = xi;
}
}
}
